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第1章 量子力学基础1

1.1 波动和微粒二象性3

1.1.1 从经典力学到量子力学3

1.1.2 光的波粒二象性3

1.1.3 驻波的波动方程5

1.1.4 电子和其他实物的波动性——de Broglie关系式6

1.1.5 de Broglie波的实验根据7

1.1.6 de Broglie波的统计意义8

1.1.7 态叠加原理9

1.1.8 动量的概率——以动量为自变量的波函数12

1.2 量子力学基本方程——Schr？dinger方程13

1.2.1 Schr？dinger方程第一式13

1.2.2 Schr？dinger方程第一式的算符表示14

1.2.3 Schr？dinger方程第二式14

1.2.4 波函数的物理意义15

1.2.5 力学量的平均值（由坐标波函数计算）15

1.2.6 力学量的平均值（由动量波函数计算）18

1.3 算符18

1.3.1 算符的加法和乘法19

1.3.2 算符的对易19

1.3.3 算符的平方20

1.3.4 线性算符20

1.3.5 本征函数、本征值和本征方程21

1.3.6 Hermite算符21

1.3.7 Hermite算符本征函数的正交性——非简并态23

1.3.8 简并本征函数的正交化24

1.3.9 Hermite算符本征函数的完全性25

1.3.10 波函数展开为本征函数的叠加26

1.3.11 连续谱的本征函数27

1.3.12 Dirac δ函数28

1.3.13 动量的本征函数的归一化30

1.3.14 Heaviside阶梯函数和δ函数31

1.4 量子力学的基本假设33

1.4.1 公理方法33

1.4.2 基本概念34

1.4.3 假设Ⅰ——状态函数和概率34

1.4.4 假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符35

1.4.5 假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值36

1.4.6 假设Ⅳ——态随时间变化的Schr？dinger方程37

1.4.7 假设Ⅴ——Pauli不相容原理37

1.5 关于定态的一些重要推论37

1.5.1 定态的Schr？dinger方程37

1.5.2 力学量具有确定值的条件38

1.5.3 不同力学量同时具有确定值的条件38

1.5.4 动量和坐标算符的对易规律40

1.5.5 Heisenberg测不准关系式40

1.6 运动方程43

1.6.1 Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化43

1.6.2 量子Poisson括号45

1.6.3 力学量守恒的条件47

1.6.4 概率流密度和粒子数守恒定律47

1.6.5 质量和电荷守恒定律49

1.6.6 Ehrenfest定理49

1.7 维里定理和Hellmann-Feynman定理49

1.7.1 超维里定理50

1.7.2 维里定理51

1.7.3 Euler齐次函数定理52

1.7.4 维里定理的某些简化形式52

1.7.5 Hellmann-Feynman定理53

1.8 表示理论54

1.8.1 态的表示54

1.8.2 算符的表示56

1.8.3 另一套量子力学的基本假设57

参考文献59

习题59

第2章 简单体系的精确解65

2.1 自由粒子67

2.1.1 一维自由粒子67

2.1.2 三维自由粒子69

2.2 势阱中的粒子71

2.2.1 一维无限深的势阱71

2.2.2 多烯烃的自由电子模型73

2.2.3 三维长方势阱73

2.2.4 圆柱体自由电子模型75

2.3 隧道效应——方形势垒76

2.3.1 隧道效应76

2.3.2 Schr？dinger方程76

2.3.3 波函数中系数的确定（E＞V0）77

2.3.4 贯穿系数与反射系数（E＞V0）78

2.3.5 能量小于势垒的粒子（E＜V0）79

2.3.6 共振透射80

2.4 二阶线性常微分方程的级数解法81

2.4.1 二阶线性常微分方程81

2.4.2 级数解法82

2.4.3 正则奇点邻域的级数解法83

2.4.4 若干二阶线性微分方程85

2.5 线性谐振子和Hermite多项式85

2.5.1 线性谐振子85

2.5.2 幂级数法解U方程87

2.5.3 谐振子能量的量子化88

2.5.4 Hermite微分方程与Hermite多项式89

2.5.5 Hermite多项式的递推公式91

2.5.6 Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式92

2.5.7 Hermite多项式的母函数展开式定义93

2.5.8 谐振子的波函数——Hermite正交函数94

2.5.9 矩阵元的计算96

参考文献97

习题98

第3章 氢原子和类氢离子101

3.1 Schr？dinger方程103

3.1.1 氢原子质心的平移运动103

3.1.2 氢原子中电子对核的相对运动103

3.1.3 氢原子作为两个质点的体系103

3.1.4 坐标的变换104

3.1.5 变量分离106

3.1.6 球坐标系107

3.1.7 球坐标系中的变量分离107

3.1.8 Ф方程之解108

3.1.9 Θ方程之解110

3.1.10 R方程之解112

3.1.11 能级114

3.2 Legendre多项式115

3.2.1 微分式定义115

3.2.2 幂级数定义116

3.2.3 母函数展开式定义和递推公式117

3.2.4 母函数的展开118

3.2.5 正交性119

3.2.6 归一化120

3.3 连带Legendre函数121

3.3.1 微分式定义121

3.3.2 递推公式122

3.3.3 正交性123

3.3.4 归一化124

3.4 Laguerre多项式和连带Laguerre函数125

3.4.1 母函数展开式定义125

3.4.2 微分式定义126

3.4.3 级数定义126

3.4.4 积分性质126

3.4.5 连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数127

3.4.6 连带Laguerre多项式的母函数展开式定义127

3.4.7 连带Laguerre多项式的级数定义127

3.4.8 连带Laguerre函数的积分性质128

3.5 类氢离子的波函数129

3.5.1 类氢离子的波函数129

3.5.2 氢原子的基态135

3.5.3 径向分布136

3.5.4 角度分布137

3.5.5 电子云的空间分布139

参考文献148

习题148

第4章 角动量和自旋151

4.1 角动量算符153

4.1.1 经典力学中的角动量153

4.1.2 角动量算符153

4.1.3 对易规则154

4.1.4 Hamilton算符与角动量算符的对易规则156

4.1.5 三个算符具有相同本征函数的条件157

4.1.6 角动量的本征函数157

4.2 阶梯算符法求角动量的本征值160

4.2.1 角动量算符的对易规则160

4.2.2 阶梯算符的性质160

4.2.3 阶梯算符的作用161

4.2.4 角动量的本征值163

4.3 多质点体系的角动量算符165

4.3.1 经典力学中多质点体系的角动量165

4.3.2 总角动量算符及其对易规则165

4.3.3 多电子原子的Hamilton算符的对易规则165

4.4 电子自旋167

4.4.1 电子自旋167

4.4.2 假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则168

4.4.3 假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值169

4.4.4 电子自旋的阶梯算符170

4.4.5 自旋算符的矩阵表示172

4.4.6 假设Ⅲ——自由电子的g因子173

参考文献174

习题174

第5章 变分法和微扰理论177

5.1 多电子体系的Schr？dinger方程179

5.1.1 原子单位179

5.1.2 多电子分子的Schr？dinger方程180

5.1.3 Born-Oppenheimer原理181

5.1.4 多电子体系的Schr？dinger方程举例182

5.1.5 多电子体系的Schr？dinger方程的近似解法183

5.2 变分法184

5.2.1 最低能量原理184

5.2.2 变分法185

5.2.3 氦原子和类氦离子的变分处理（一）185

5.2.4 氦原子和类氦离子的变分处理（二）186

5.2.5 激发态的变分原理187

5.2.6 线性变分法188

5.2.7 变分法的推广190

5.3 定态微扰理论191

5.3.1 非简并能级的一级微扰理论191

5.3.2 基态氦原子或类氦离子194

5.3.3 简并能级的一级微扰理论195

5.3.4 微扰法在氢原子中的应用198

5.3.5 二级微扰理论199

5.4 含时微扰理论与量子跃迁199

5.4.1 含时微扰理论199

5.4.2 光的吸收与发射203

5.4.3 激发态的平均寿命211

5.4.4 光谱选律212

5.4.5 偶极强度与吸收系数的关系216

5.4.6 振子强度219

参考文献221

习题221

第6章 群论基础知识225

6.1 群的定义和实例227

6.1.1 群的定义227

6.1.2 群的几个例子228

6.1.3 乘法表和重排定理232

6.1.4 同构和同态234

6.2 子群、生成元和直积235

6.2.1 子群235

6.2.2 生成元237

6.2.3 直积238

6.3 陪集、共轭元素和类239

6.3.1 陪集239

6.3.2 Lagrange定理240

6.3.3 共轭元素和类241

6.3.4 置换群的类243

6.4 共轭子群、正规子群和商群244

6.4.1 共轭子群244

6.4.2 正规子群（自轭子群）245

6.4.3 商群和同态定理246

6.5 对称操作群248

6.5.1 对称操作248

6.5.2 操作的乘积249

6.5.3 对称操作群252

6.5.4 共轭对称元素系，共轭对称操作类和两个操作可对易的条件253

6.5.5 生成元、子群和直积255

6.6 分子所属对称性群的确定256

6.6.1 单轴群256

6.6.2 双面群259

6.6.3 立方体群261

6.6.4 分子对称性群的生成元和生成关系266

6.6.5 晶体学点群267

6.6.6 分子所属对称性群的确定268

参考文献270

习题270

第7章 群表示理论275

7.1 对称操作的矩阵表示277

7.1.1 基矢变换和坐标变换277

7.1.2 物体绕任意轴的旋转，Euler角280

7.1.3 对称操作的矩阵表示282

7.1.4 函数的变换284

7.2 群的表示293

7.2.1 群表示的定义293

7.2.2 等价表示和特征标295

7.2.3 可约表示和不可约表示，不变子空间297

7.2.4 Schur引理300

7.2.5 正交关系302

7.2.6 正交关系示例308

7.2.7 投影算符和表示空间的约化310

7.2.8 直积群的表示313

7.2.9 实表示和复表示315

7.3 表示的直积及其分解318

7.3.1 表示的直积318

7.3.2 对称积和反对称积319

7.3.3 直积表示的分解320

7.3.4 Clebsch-Gordan系数321

7.4 某些群的不可约表示322

7.4.1 循环群323

7.4.2 互换群323

7.4.3 点群324

7.4.4 回转群328

7.4.5 旋转群328

7.4.6 双值表示329

参考文献331

习题332

第8章 群论在量子化学中的应用333

8.1 体系能级与其所属对称性群不可约表示的联系335

8.1.1 态的分类和谱项335

8.1.2 能级的分裂338

8.1.3 时间反演对称性和Kramers简并340

8.2 矩阵元的计算345

8.2.1 零矩阵元的鉴别和光谱选律345

8.2.2 不可约张量方法351

8.3 能量本征值的计算354

8.3.1 久期行列式的因式分解354

8.3.2 不可约表示基的构造356

8.3.3 杂化轨道的构造360

8.4 对称性在化学反应过程中的作用362

8.4.1 轨道对称性守恒原理362

8.4.2 反应体系电子状态的对称性守恒368

参考文献371

习题371

附录1 矩阵及其运算373

A1.1 矩阵的由来、定义和运算375

A1.1.1 矩阵的由来375

A1.1.2 矩阵的定义376

A1.1.3 矩阵的相等376

A1.1.4 矩阵的加减法376

A1.1.5 矩阵和数的乘法376

A1.1.6 矩阵和矩阵的乘法377

A1.1.7 转置矩阵378

A1.1.8 零矩阵379

A1.1.9 矩阵的分块379

A1.2 行矩阵和列矩阵380

A1.2.1 行矩阵和列矩阵380

A1.2.2 行矢和列矢381

A1.2.3 Dirac符号381

A1.2.4 矢量的标积和矢量的正交381

A1.2.5 矢量的长度或模381

A1.2.6 右矢与左矢的乘积382

A1.3 方阵382

A1.3.1 方阵和对角阵382

A1.3.2 三对角阵383

A1.3.3 单位矩阵和纯量矩阵383

A1.3.4 Hermite矩阵384

A1.3.5 方阵的行列式，奇异和非奇异方阵384

A1.3.6 方阵的迹384

A1.3.7 方阵之逆385

A1.3.8 酉阵和正交阵385

A1.3.9 酉阵的性质386

A1.3.10 准对角方阵387

A1.3.11 下三角阵和上三角阵388

A1.3.12 对称方阵的平方根389

A1.3.13 正定方阵389

A1.3.14 Jordan块和Jordan标准型389

A1.4 行列式求值和矩阵求逆390

A1.4.1 行列式的展开390

A1.4.2 Laplace展开定理391

A1.4.3 三角阵的行列式394

A1.4.4 行列式的初等变换及其性质394

A1.4.5 利用三角化求行列式的值395

A1.4.6 对称正定方阵的平方根396

A1.4.7 平方根法求对称正定方阵的行列式之值397

A1.4.8 平方根法求方阵之逆398

A1.4.9 解方程组法求方阵之逆400

A1.4.10 伴随矩阵401

A1.4.11 伴随矩阵法求方阵之逆401

A1.5 线性代数方程组求解403

A1.5.1 线性代数方程组的矩阵表示403

A1.5.2 用Cramer法则求解线性代数方程组403

A1.5.3 Gauss消元法解线性代数方程组403

A1.5.4 平方根法解线性代数方程组405

A1.6 本征值和本征矢量的计算408

A1.6.1 方阵的本征方程、本征值和本征矢量408

A1.6.2 Cayley-Hamilton定理及其应用410

A1.6.3 本征矢量的主定理411

A1.6.4 Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法414

A1.7 线性变换418

A1.7.1 线性变换的矩阵表示418

A1.7.2 矢量的酉变换419

A1.7.3 相似变换420

A1.7.4 等价矩阵421

A1.7.5 二次型422

A1.7.6 标准型423

A1.7.7 方阵的对角化425

参考文献425

习题425

附录2 特征标表431

A2.1 点群特征标表433

A2.1.1 无轴群433

A2.1.2 单轴群433

A2.1.3 双面群438

A2.1.4 立方体群442

A2.1.5 正二十面体群444

A2.1.6 线性分子的C∞v和D∞h群444

A2.2 双值点群附加表示特征标表445

A2.2.1 C＊ 1群445

A2.2.2 C＊ i＝S＊ 2群445

A2.2.3 C＊2、C＊ 1h＝C＊ 3群445

A2.2.4 C＊ 2h群446

A2.2.5 C＊ 2v、D＊ 2群446

A2.2.6 C＊ 3群446

A2.2.7 C＊ 3v、D＊ 3群446

A2.2.8 C＊ 4、S＊ 4群447

A2.2.9 C＊ 4v、D＊ 2d、D＊ 4群447

A2.2.10 C＊ 5v、D＊ 5群447

A2.2.11 C＊ 6、C＊ 3h群447

A2.2.12 C＊ 6v、D＊ 3h、D＊ 6群448

A2.2.13 C＊ 8v、D＊ 4d、D＊ 8群448

A2.2.14 T＊群449

A2.2.15 T＊ d 、O＊群449

A2.2.16 C＊ ∞v、D？＊ ∞群449

A2.2.17 I＊群450